המפגש בשבוע שעבר עסק בנושא התנע והייתה שאלה (ראשונה) שבא תוארה קרונית המלאה בחיטה הנוסעת במהירות קבוע על משטח חסר חיכוך (זאת הייתה תוצאה של סעיף א'). בשלב מסוים נוצר חור בקרונית והחיטה זרמה ממנה בקצב קבוע ונתון. התבקשנו לתאר איך תשתנה מהירות הקרונית בעקבות כך.
אופן ניסוח השאלה דוחף אותנו להגיד שהמהירות תשתנה ועם קצת אינטואיציה לבחור שהמהירות תגדל ולא תקטן (הקרונית הרי נעשית יותר "קלה"). כשניסיתי לחשב באיזה קצב היא תגדל נכנסתי לבעיה. משהו "לא הסתדר". ובכן מי שנשאר באותו מפגש עד הסוף גילה יחד איתי שאם מפרשים בצורה הכי ישירה את השאלה אז הקרונית לא תשנה את מהירותה בתנאים אלה.
הייתי רוצה להסביר מה קורה פה כי זה מעורר באותה הזדמנות כמה נקודות מעניינות בנושא התנע.
בואו נחשוב על בעיה פשוטה יותר בה בהתחלה הקרונית איננה זזה בכלל. בשלב מסוים נוצר חור בתחתית הקרונית והחיטה מתחילה לזרום ממנה. מה יקרה? ובכן יכולות להיות ארבע אפשרויות. 1. הקרונית תנוע שמאלה. 2. הקרונית תנוע ימינה. 3. הקרונית תשאר לעמוד במקום. 4. הקרונית תמריא למעלה. ארבעת האפשרויות מצויירות בתמונה בתחילת הרשומה.
אם יש איזשהי סיבה בעולם שהקרונית תנוע שמאלה אותה סיבה צריכה לגרום לה גם לנוע ימינה. אין שום דבר בבעיה הזאת ששובר את הסימטריה בין שמאל לימין. (טיעון מטעמי סימטריה הינו טיעון עוצמתי בפיסיקה ואני מעריך שעוד נתקל בו). אבל איך יכולה הקרונית לנוע גם ימינה וגם שמאלה באותו זמן? נכון, לא יכולה, זאת סתירה. לכן ההנחה שלנו שיש סיבה לקרונית לנוע שמאלה הינה שגויה!
מה שראינו כאן זאת הוכחה באמצעות הנחת השלילה (שלילה של משהו שאנחנו באמת רוצים להוכיח) והגעה לסתירה. עכשיו תחזרו לתחילת הפיסקה הקודמת ותחליפו את המילה "שמאלה" ב"ימינה" ואת המילה "ימינה" ב"שמאלה". מטעמי סימטריה (אמרתי שעוד נתקל בזה?) נקבל הוכחה שהקרונית גם לא נעה ימינה.
אז האפשרויות 1 ו-2 נופלות. עכשיו בואו נבדוק את האפשרות 4 דווקא. לפני שנוצר החור כוח המשיכה בכוון האנכי על הקרונית מתבטל על ידי הכח הנורמלי שהקרקע מפעילה והכח המשיכה על החיטה מתבטל על ידי הכח הנורמלי שרצפת הקרונית מפעילה על החיטה. מאחר ושקול הכוחות הוא אפס בכוון הזה לא יהיה שינוי בתנע. מהו התנע? אפס (מסה כפול מהירות), והקרונית ממשיכה לעמוד לפחות עד שנוצר החור. מהרגע שנוצר החור בתחתית הקרונית על חלק מהחיטה מפסיק לפעול הכח הנורמלי. התנע שלה מתחיל להשתנות בכוון פעולת המתקף (כח המשיכה כפול הזמן) והיא מתחילה להאיץ כלפי מטה. המתקף הזה פועל רק על החיטה שנופלת ומשנה את התנע שלה בלבד! בואו נסתכל כל פעם על גרגיר בודד שמתחיל ליפול. מה שמעניין אותנו זה באיזו מהירות הוא עוזב את הקרונית. והתשובה היא אפס. כל גרגיר מתחיל להאיץ ממנוחה והתנע שלו ברגע זה הוא אפס. מאחר ועד אותו הרגע לא פועל מתקף (על מערכת הקרונית, חיטה שלא נופלת והגרגיר המדובר) אז התנע של הקרונית ושאר החיטה חייב להשאר אפס עד הרגע הזה. וזה יכול להיות רק אם מהירותם של הקרונית וכל החיטה שנשארת (עד הגרגיר הבא) תהיה גם אפס (תנע, כאמור, זה מכפלה של מסה במהירות). לאחר מכן, כאמור, רק התנע של הגרגיר משתנה. ובכן, הקרונית לא ממריאה. אפשרות ארבע נופלת.
מה נשאר? רק אפשרות 3. הקרונית נשארת לעמוד במנוחה. איך זה עוזר לנו בבעיה שלנו? בבעיה שלנו הקרונית מלכתחילה נעה במהירות אופקית קבועה. בוא נעבור למערכת יחוס הצמודה לקרונית. מערכת הזאת הינה מערכת אינרציאלית (בדיוק בגלל שהיא נעה במהירות קבוע בקו ישר) לכן מתקיימים בה כל החוקים שלמדנו ומתרחשות בה כל התופעות שנובעות מחוקים אלה. אבל במערכת הזאת יש לנו בדיוק הבעיה הפשוטה שכרגע פתרנו. והפתרון הוא שהקרונית נשארת במנוחה. עכשיו נחזור למערכת יחוס של הקרקע (מערכת בה שואלים אותנו את השאלה). במערכת זאת הקרונית ממשיכה לנוע באותה מהירות האופקית (לא קרה לה כלום בכל המערכות האינרציאליות). יש לנו את הפתרון לבעיה!
למה לעזאזל דברתי על האפשרות הרביעית המצחיקה הזאת? האם היא באמת כזאת מופרכת? האם אפשר להתרומם לשמיים באמצעות קרונית עם חיטה? אולי אפילו לצאת לחלל? בואו נמשיך לחשוב. החלק הקריטי שגרם לנו להסיק שהקרונית לא תתרומם למעלה היה שהחיטה עוזבת את הקרונית במהירות אפסית. האם אפשר לשנות זאת? מה אם אסתתר בתוך הקרונית ואחרי שיווצר החור אתחיל לירוק את גרגירי החיטה דרך החור. עכשיו ברגע שהגרגיר מתחיל ליפול (עוזב את הפה שלי) הוא כבר איננו במנוחה. עד הרגע הזה (כולל) לא פעל מתקף על המערכת ולכן התנע חייב להשאר אפס. אבל עם לגרגיר יש תנע כלפי מטה לשאר הקרונית (כולל אותי) צריך אז להיות ברגע זה אותו תנע כלפי מלעה. איזו מהירות זה מקנה לקרונית? בואו נחשב בערך (הנה עוד אמצעי חשוב מאוד בפיסיקה, לחשב בערך), נגיד הגרגיר שוקל גרם אחד ויוצא במהירות מטר אחד בשניה (שזה די מהר, תודו) ונגיד הקרונית שוקלת טון (יחד איתי, אבל אני נשבע שרוב המשקל בא מהחיטה... טוב הייתי קצת רעב), טון זה מיליון גרם. כדי לאזן את התנע המהירות שמקבלת הקרונית היא מיליונית מטר לשניה (תחשבו, אני אבדוק), זה מיקרון אחד לשניה שזה 3.6 מילימטר לשעה (למה?) זה די לאט, נכון? תוך כמה זמן הקרונית תחזור לקרקע? ובכן, זאת בעיה בתנועה בליסטית ואנחנו יודעים לפתור את זה וזה יוצא בערך 0.36 מיקרו-שניות (אלפיות שניה). זה די מהר, נכון? לא נראה לי שאני ארגיש את זה. זה לא מה שיעיף אותי לחלל. אבל אם ארק את הגרגיר יותר חזק ומהר מאוד (לפני שהתחלתי ליפול בחזרה) ארק את הבא והבא והבא... בטוח אגיע לחלל, נכון? טוב, תאורטית כן (כאן אנו לומדים הבדל חשוב בין פיסיקה תאורטית לפיסיקה ישומית). ואם אתם לא מאמינים שזה אפשרי אז תסתכלו בוידאו הזה ותחשבו על קרונית עם חיטה שאני יורק, פועל כאן בדיוק אותו עיקרון:
